English aether.narod.ru

В.П.Дмитриев

Упругость и электромагнетизм


Электромагнитные уравнения Максвелла изоморфны уравнению движения линейно-упругого континуума типа желе _ несжимаемого, но податливого сдвиговым деформациям. Кулоновская калибровка выражает несжимаемость среды. Поперечная волна моделирует свет. Магнитный вектор-потенциал соответствует скорости движения среды. Электростатический потенциал отвечает давлению. Электрическое поле моделируется объёмной силой, происхождение которой остаётся за рамками упругой модели. Полость, включенная в определенную таким образом среду, создает в ней возмущение δp ~ 1/r поля давления. Дефекты взаимодействуют между собой в соответствии с законом сохранения в поле кручения среды.


Уже давно отмечено, что классический электромагнетизм подобен по своей структуре теории деформации и напряжения твёрдого упругого тела [1] [1] В.П.Дмитриев, Упругая модель физического вакуума, МТТ, 1992, т. 26, No 6, стр. 66-77.. При этом не удаётся найти такую твёрдую среду, уравнения движения которой полностью воспроизводили бы уравнения Максвелла. Иначе говоря, не существует твердотельной реализации электромагнитного субстрата. Тем не менее, вводя соответствующие силовые члены в уравнение линейной упругости, можно в точности симитировать структуру уравнений классического электромагнетизма. Полезно провести такую работу последовательно, попутно указав положение механической модели электромагнетизма в ряду других моделей теории упругости. Логически, этот этап построения механической модели электромагнитных полей и заряженных частиц может предшествовать её реализации, которая, забегая вперёд заметим, уже известна.

В формулах используются следующие обозначения: t = ¶/t, i = ¶/xi . Повсюду подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу.


1. Механика сплошной среды

Сплошная среда характеризуется объёмной плотностью V(x, t) и скоростью u(x, t) движения её элементов как функций их положения в пространстве x и времени t . Кинематика сплошной среды задаётся уравнением неразрывности

tV + ¶i(Vui) = 0 (1.1)

В динамическом уравнении

V¶tui + Vukkui = ¶ksik (1.2)
i, k = 1,2,3  

тензор напряжения sik имеет смысл i-ой компоненты силы, действующей на k-ю грань элементарного кубика со стороны соседнего элемента среды. Конкретный тип среды или движения специфицируется зависимостью sik от тех или иных параметров системы _ плотности, скорости, смещения и т.п.


2. Несжимаемая жидкость

Несжимаемый флюид представляет собой простейший и в то же время особый случай: здесь тензор напряжения не зависит от деформации. В процессе движения он как бы подстраивается к полю скоростей. В общем, имеем для жидкости:

sik = - pdik (2.1)

где p _ неизвестная функция x и t. Тогда из (1.2)
V¶tui + Vukkui = ¶ksik (1.2)
, (2.1) динамическое уравнение невязкой несжимаемой жидкости:

V¶tui + Vukkui + ¶ip = 0 (2.2)

В стационарном случае tu = 0 уравнение (2.2) может быть проинтегрировано _ вдоль линии тока или вдоль вихревой линии:

Vu2/2 + p = const (2.3)

Уравнение Бернулли (2.3) наглядно показывает то, о чём говорилось выше: функция давления p(x) подстpаивается к полю скоростей u(x). Уникальное решение (2.3) находится из граничного условия для скорости и давления.


3. Желе

Нас интересует случай среды, элементы которой испытывают только небольшое смещение s(x, t) относительно исходного положения x. Заметим, что здесь мы перешли к так называемому лагранжеву представлению, тогда как ранее использовали эйлерово. Так, в уравнениях (1.1), (1.2)
tV + ¶i(Vui) = 0 (1.1)
V¶tui + Vukkui = ¶ksik (1.2)
величина u(x, t) относится к значению u в текущей x, или данной точке, а не к начальной координате элемента среды. При малых смещениях различение между двумя представлениями становится несущественным. В этом случае можно положить

u = ¶ts (3.1)

В случае малых скоростей пренебрежём в (1.2)
V¶tui + Vukkui = ¶ksik (1.2)
квадратичными членами:

Vtui = ¶ksik (3.2)

Для среды типа желе _ несжимаемой, но податливой сдвиговой деформации _ тензор напряжения может быть следующим образом разрешён в терминах закона Гука:

sik = m(¶isk + ¶ksi) - pdik (3.3)
isi = 0 (3.4)

Подставим (3.3), (3.4) и (3.1) в (3.2):

V¶2s/t2 = mС2s - Сp (3.5)

Отметим, что от общего уравнения (1.2)
V¶tui + Vukkui = ¶ksik (1.2)
к линеаризованному уравнению (3.2)
Vtui = ¶ksik (3.2)
можно было бы перейти и строгим образом _ без пренебрежения квадратичными членами. При этом в (3.2) фигурировал бы тензор напряжения Лагранжа. В то время как в (1.2)
V¶tui + Vukkui = ¶ksik (1.2)
стоит тензор напряжения Эйлера. Строго говоря, именно для тензора напряжения Лагранжа и выполняется закон Гука типа (3.3) [2] [2] Д.Бленд, Нелинейная динамическая теория упругости, "Мир", Москва, 1972..

В силу (3.4) первые два члена (3.5) соленоидальны, в то время как последний _ потенциален. Поэтому (3.5) распадается на два независимых уравнения:

V¶2s/t2 = mС2s (3.6)
и
Сp = 0 (3.7)

Уравнение Даламбера (3.6) описывает распространение в желеобразной среде поперечной волны со скоростью c:

c2 = m/V (3.8)

А (3.7) указывает на постоянство фонового давления:

p0 = const (3.9)

4. Cветоносный эфир

Перепишем уравнение движения желеобразной среды (3.5)
V¶2s/t2 = mС2s - Сp (3.5)
в терминах (3.1)
u = ¶ts (3.1)
и (3.8):

V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp = 0 (4.1)

где упругий член был преобразован в соответствии с векторным соотношением

С(С·) = С2 + С×(С×) (4.2)

и условием несжимаемости среды (3.4)
isi = 0 (3.4)
. Введём определения векторных A, E и скалярного j полей:

A = kcu (4.3)
Vj = k(p _ p0) (4.4)
E = kc2С×(С×s) (4.5)

где k _ произвольная константа. Подставим (4.3) - (4.5) в (4.1):

tA/c + E + Сj = 0 (4.6)

С учётом (3.1)
u = ¶ts (3.1)
условие несжимаемости среды (3.4)
isi = 0 (3.4)
дает согласно определению (4.3)

С·A = 0 (4.7)

Продифференцируем (4.5) по t и используем в результате (3.1)
u = ¶ts (3.1)
и (4.3):

tE _ cС×(С×A) = 0 (4.8)

Наконец, возьмём дивергенцию (4.5):

С·E = 0 (4.9)

Выражения (4.6) - (4.9) совпадают с соответствующими уравнениями Максвелла в кулоновской калибровке (4.7) для случая отсутствия электрического заряда.


5. Интегралы движения

Уравнения движения желеобразной среды (4.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp = 0 (4.1)
, (3.7)
Сp = 0 (3.7)
и (3.4)
isi = 0 (3.4)
:

V¶tu + Vc2С×(С×s) = 0 (5.1)
С·s = 0 (5.2)

Выведем интеграл энергии. Домножим (5.1) на u:

½V¶tu2 + Vc2u·С×(С×s) = 0 (5.3)

Проинтегрируем (5.3) по всему объему среды и возьмем второй интеграл по частям. Применим (3.1)
u = ¶ts (3.1)
. В результате получим сохранение энергии

½V¶tт[(ts)2 + (cС×s)2]d3x = 0 (5.4)

Выведем теперь другой интеграл движения. Возьмем ротор (5.1):

V¶tС×u + Vc2С×[С×(С×s)] = 0 (5.5)

Домножим (5.5) на С×u:

½V¶t(С×u)2 + Vc2(С×u)·С×[С×(С×s)] = 0 (5.6)

Проинтегрируем (5.6) по всему объему. Возьмем второй интеграл по частям. Применим в нём (3.1)
u = ¶ts (3.1)
. В результате получим закон сохранения в поле кручения среды

½V¶tт{(С×u)2 + [cС×(С×s)]2}d3x = 0 (5.7)

Домножим (5.7) на k2/V и используя определения (4.3) и (4.5)
A = kcu (4.3)
E = kc2С×(С×s) (4.5)
, выразим (5.7) в электромагнитной форме:

½tт[(С×A)2 + E2]d3x = 0 (5.8)

Интеграл в (5.8) принимается в электродинамике за энергию электромагнитного поля.

Подставим (5.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) = 0 (5.1)
в (5.7):

½tт[c2(С×u)2 + (tu)2]d3x = 0 (5.9)

Заметим, что выражения (5.9) и (5.4)
½V¶tт[(cС×s)2 + (¶ts)2]d3x = 0 (5.4)
имеют одинаковую структуру.


6. Внешняя сила

Нас интересует механическая система, способная имитировать электростатическое поле. Например, в случае линейной зависимости напряжения от температуры точечный источник тепла создаёт стационарное поле давления p ~1/r. Если бы удалось созданное таким образом температурное поле зафиксировать, то мы получили бы механическую аналогию статического электрического заряда. В действительности, нечто подобное можно сделать, но в другой модели [3, 4][3] O.V.Troshkin, On wave properties of an incompressible turbulent fluid,
      Physica A, 1990, v. 168, No 2, pp. 881-899.
      О.В.Трошкин, Волны возмущений турбулентных сред,
      ЖВМ МФ, 1993, т. 33, No 12, стр. 1844-1863.
[4] V.P.Dmitriyev, Towards an exact mechanical analogy of particles and fields,
      Nuovo Cimento, 1998, v. 111A, No 5, pp. 501-511;
       http://xxx.arXiv.org/abs/physics/9904029
      В.П.Дмитриев, Механический эквивалент электромагнитных полей и частиц,
      ЖВМ МФ., 1999, т. 39, No 7, стр. 1188-1196.
. В упругой модели мы вынуждены ограничиться чисто формальным введением в (4.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp = 0 (4.1)
плотности f(x, t) внешней силы:

V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp - Vf = 0 (6.1)

Для иллюстрации физического смысла члена Vf отметим, что в термоупругой модели в качестве "внешней" силы выступает градиент температурного поля: f ~ СT.

В нашей системе особое значение имеют сферически симметричные поля:

f = y(|x _ x'|)(x _ x')/|x _ x'| (6.2)

Любая векторная функция вида (6.2) потенциальна. Так что с (6.2) уравнение (6.1) распадается на соленоидальную (3.6)
V¶2s/t2 = mС2s (3.6)
и потенциальную

Сp = Vf (6.3)

части. Согласно (6.3), поле давления подстраивается к полю f(x) объемной силы. Уникальное решение уравнения (6.3) находится из граничного условия для поля давления.


7. Частица и заряд

Моделируем частицу вещества включением в твердотельный субстрат сферической полости радиуса R. На границе полости давление должно быть нулевым. При удалении от включения давление стремится к фоновому значению (3.9)
p0 = const (3.9)
. В результате имеем для полости с центром в x'

p = p0 _ af(|x - x'|) (7.1)

где a _ мощность центра возмущения,

af(R) = p0,     f(∞) = 0 (7.2)

Функцию f(r) можно определить из уравнения (6.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp - Vf = 0 (6.1)
. Для этого рассмотрим процесс малых колебаний полости в среде, содержащей другие полости. Небольшое изменение dV объема V = 4pR3/3 полости сопровождается радиальным сдвигом среды

4pds = - dVС(1/|x _ x'|) (7.3)

Будем считать, что вариации dV(t) объема соответствует вариация da(t) мощности центра напряжения при сохранении формы f(r). Имеем из (7.1)

dСp = - daСf(|x _ x'|) (7.4)

Варьируем (6.1)
V¶tu + Vc2С× (С×s) + Сp - Vf = 0 (6.1)
возле положения равновесия (6.3)
Сp = Vf (6.3)
, считая для простоты, что df = 0, и подставим в результат (7.3) и (7.4):

t2δV С(1/|x _ x'|) + 4pδa Сf(x _ x') = 0 (7.5)

Из (7.5) находим, что

f(x _ x') ~ 1/|x _ x'| (7.6)

Подставляя (7.6) в (7.1), (7.2)
p = p0 _ af(|x _ x'|) (7.1)
af(R) = p0,     f(∞) = 0 (7.2)
, получаем

p = p0 _ a/|x _ x'| (7.7)
a = p0R (7.8)

Примем построенный таким образом источник возмущения в качестве модели положительно заряженной частицы (протона). Отметим, что форма (7.6) выведена нами путем рассмотрения процесса, не имеющего аналога в электродинамике. С учетом определения (4.4)
Vj = k(p _ p0) (4.4)
имеем из (7.7) для электрического заряда

q = - ka/V (7.9)

Согласно определения знака заряда, из (7.9) и (7.8) следует, что коэффициент размерности

k < 0 (7.10)

В качестве массы частицы примем

m = VV (7.11)

Возьмем дивергенцию (6.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp - Vf = 0 (6.1)
, учитывая (3.4), (3.1)
isi = 0 3.4)
u = ¶ts (3.1)
, и подставим в результат (7.7)
p = p0 _ a/|x _ x'| (7.7)
:

VС·f = 4pad(x _ x') (7.12)

Уравнение (7.12) описывает генерацию поля f объемной силы точечным дефектом мощности a.


8. Пластичность

Предполагается, что дефект, создающий поле возмущения f, может свободно перемещаться в объеме среды. При этом уравнение (7.12) продолжает выполняться так, что достаточно положить в нем зависимость x' от времени. Cоотношение (6.3)
Сp = Vf (6.3)
более недействительно. А уравнение (7.12) позволяет определить только потенциальную компоненту поля f. Если бы нам была известна также и соленоидальная составляющая f, то из уравнений (5.2), (3.1) и (6.1)
С·s = 0 (5.2)
u = ¶ts (3.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp - Vf = 0 (6.1)
можно было бы найти поля s и u. Таким образом, требуется дополнительное условие для определения поля f. Найдем уравнение, описывающее эволюцию f во времени, считая функцию x'(t) известной. Cкорость перемещения дефекта:

v = dx'/dt (8.1)

Продифференцируем (7.12) по времени с учетом (8.1):

VС·tf = _ 4pav·Сd(x _ x') = _ 4paС·[vd(x _ x')] (8.2)

Интегрируя (8.2) по пространственной координате, найдем:

V¶tf = _ 4pavd(x _ x') + h (8.3)

где h _ некоторая неопределенная функция, ограниченная только условием

С·h = 0 (8.4)

Постулируя в (8.3) h = 0, получим уравнение

V¶tf + 4pavd(x _ x') = 0 (8.5)

которое вместе с уравнениями (5.2), (3.1), (6.1) и (7.12)
С·s = 0 (5.2)
u = ¶ts (3.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp - Vf = 0 (6.1)
VС·f = 4pad(x _ x') (7.12)
дает полное описание системы, при условии, что функция x'(t) известна.

Движение дефектов представляет собой микроскопический механизм пластичности твердой упругой среды. Уравнение (8.3) соответствует свертке модели Прандтля-Рейсса упруго-идеально-пластической среды.


9. Механика дефекта

В действительности функция x'(t) неизвестна и её предстоит определить из уравнения движения дефекта. Перемещение полости объёма V эквивалентно переносу массы (7.11) материала среды. Будем считать, что полость движется как классическая частица с уравнением движения

mdv/dt = F (9.1)

Если функция F(f, s, u, v) известна, то тем самым система уравнений (5.2), (3.1), (6.1), (7.12), (8.5), (8.1)
С·s = 0 (5.2)
u = ¶ts (3.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp - Vf = 0 (6.1)
VС·f = 4pad(x _ x') (7.12)
V¶tf + 4pavd(x _ x') = 0 (8.5)
v = dx'/dt (8.1)
и (9.1) _ замкнута. Заметим, что в (9.1) функция F взята в точке x'.

В статике сила, действующая на центр давления (7.7)
p = p0 _ a/|x _ x'| (7.7)
помещенный в некоторое поле давления p, должна быть пропорциональна Сp. Мы примем её в виде
F = kaСp (9.2)

где k – коэффициент пропорциональности. Выражение (9.2) можно также использовать для моделирования силы, действующей на движущийся дефект. Покажем, что (9.2) находится в согласии с полевым уравнением (8.5)
V¶tf + 4pavd(x _ x') = 0 (8.5)
. Если давление p не зависит от времени, то мы имеем из (9.1) и (9.2)
mdv/dt = F (9.1)
F = kaСp (9.2)
интеграл движения дефекта
½ mu2 – kap = const (9.3)

С другой стороны, умножим (8.5)
V¶tf + 4pavd(x _ x') = 0 (8.5)
на F и проинтегрируем его по всему объему:

V∫F·tfd3x + 4pav·Fx=x' = 0 (9.4)

Подставим (9.2) в первый член (9.4), возьмем интеграл по частям и используем в нем (7.12)
VС·f = 4pad(x _ x') (7.12)
. Подставим (9.1) во второй член (9.4). Проинтегрируем (9.4) по времени. Это возвращает нас к (9.3).

Выражение (9.2)
F = kaСp (9.2)
можно обобщить, добавляя к нему кинетический член из (6.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp - Vf = 0 (6.1)
:

F = ka(Сp + V¶tu) (9.5)

Мы также должны обобщить (9.4) на случай взаимодействия нескольких дефектов. После того, как мы используем в нем (9.5) и (6.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp - Vf = 0 (6.1)
, закон сохранения энергии движения дефектов будет выглядеть следующим образом:

t{kV2(8p)-1∫[(Сp/V + tu)2 + c2(С×u)2]d3x + K} = 0 (9.6)

Мы принимаем повсюду для энергии самовзаимодействия дефекта нулевое значение. Сравнивая (9.6) с (5.9)
½tт[c2(С×u)2 + (tu)2]d3x = 0 (5.9)
непосредственно видим, что (9.6) является обобщением закона сохранения в поле кручения среды.

Тот же самый результат (9.6) получается, если добавить к (9.5) вектор, перпендикулярный v. Общее выражение для силы, действующей на дефект, который движется в упругой среде, выглядит следующим образом:

F = ka[(Сp + V¶tu) – v×(...)]x=x' (9.7)

Здесь мы показываем явным образом, что полевой член в правой части (9.1)
mdv/dt = F (9.1)
должен быть взят в точке нахождения дефекта. В работе [6] [6] V.P.Dmitriyev, Can we derive the Lorentz force from Maxwell's equations?
       http://xxx.arXiv.org/abs/physics/0206022 показано, что, по крайней мере в приближении малых скоростей u, точная форма добавки –kav×(...) к (9.5) может быть найдена из полевых уравнений (5.2), (3.1), (6.1), (7.12) и (8.5)
С·s = 0 (5.2)
u = ¶ts (3.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp - Vf = 0 (6.1)
VС·f = 4pad(x _ x') (7.12)
V¶tf + 4pavd(x _ x') = 0 (8.5)
, которые изоморфны уравнениям Максвелла.


10. Уравнения Максвелла

Вместо (4.5)
E = kc2С×(С×s) (4.5)
введем новое определение

E = k[c2С×(С×s) - f] (10.1)

Используя определения (10.1), (4.3) и (4.4)
A = kcu (4.3)
Vj = k(p _ p0) (4.4)
, придадим уравнению (6.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp - Vf = 0
электромагнитную форму (4.6)
tA/c + E + Сj = 0 (4.6)
. Определим плотность тока j как

Vj = - k avd(x _ x') (10.2)

В терминах (10.1) и (10.2) уравнение (8.5)
t(Сp + V¶tu) + Vc2С×(С×u) - V¶tf = 0 (8.5)
выглядит как уравнение Максвелла

tE - cС×(С×A) + 4pj = 0 (10.3)

Подставляя (10.1) и (7.9) в (7.12)
q = _ ka/V (7.9)
VС·f = 4pad(x _ x') (7.12)
, получим вместо (4.9)
С·E = 0 (4.9)

С·E = 4pqd(x _ x') (10.4)

11. Сила Лорентца

Выражение (9.10)
F = ka[(Сp + V¶tu) _ v×(...)]x=x' (9.10)
для силы, действующей на дефект, движущийся в упругой среде, было нами отчасти постулировано, отчасти обосновано его согласованностью с уравнениями движения среды. Точный вид (9.10):

F = kaV[(Сp/V + tu) _ v×(С×u)]x=x' (11.1)

Выражение (11.1) соответствует силе, действующей на электрический заряд, движущийся в электромагнитном поле. В самом деле, перепишем определение (10.1)
E = k[c2С×(С×s) - f] (10.1)
электрического поля, используя в нем (6.1)
V¶tu + Vc2С×(С×s) + Сp - Vf = 0 (6.1)
:

E = - k[Сp/V + tu] (11.2)

Подставляя (11.2), (4.3) и (7.9)
A = kcu (4.3)
q = - ka/V (7.9)
в (11.1), получим

F = (kV2/k2)q[E + v×(С×A)/c]x=x' (11.3)

Форма (11.3) совпадет с соответствующим электромагнитным выражением, если положить для абсолютной величины произвольной константы k размерности:

k2 = kV2 (11.4)

В терминах (4.3)
A = kcu (4.3)
и (11.2) с учетом (11.4) интеграл (9.9)
t{kV2(8p)-1∫[(Сp/V + tu)2 + c2(С×u)2]d3x + K} = 0 (9.9)
выглядит как закон сохранения электромагнитной энергии:

t{(8p)-1∫[E2 + (С×A)2]d3x + K} = 0 (11.5)

12. Заключительные замечания

Таким образом, классический электромагнетизм в точности вписывается в линейную теорию упругости. Носителем уравнений Максвелла оказывается твердотельная среда, несжимаемая, но податливая сдвиговым деформациям. Хотя только некоторые черты электромагнетизма реализуются в твердой упругой среде, все они могут быть описаны непротиворечивым образом на языке теории напряжений и линейных деформаций этой среды. При этом для отображения нереализуемой в рамках твердой среды сущности оказывается достаточным введения в динамическое уравнение члена внешней силы. Несмотря на свою искусственность, такой приём оправдывается тем, что источник неизвестной силы может быть привязан к дефекту, реально существующему в твердой среде.

Макроскопически электромагнитный субстрат обладает свойствами упруго-идеально-пластического тела. Теория электромагнетизма соответствует описанию пластичности в терминах перемещения дефектов, создающих напряжённое состояние среды.

Заметим, что мы приняли граничные условия (7.2)
af(R) = p0,     f(∞) = 0 (7.2)
для давления, считая, что "внешняя" сила Vf действует только в объёме среды. Это подразумевает внутреннее происхождение Vf. Как показано в работах [3, 4, 5 ], мезоскопическим механизмом упругости субстрата является турбулентность идеальной жидкости. Именно благодаря ей гидродинамическое уравнение (2.2)
V¶tui + Vukkui + ¶ip = 0 (2.2)
может быть линеаризовано, и в нем появляется объемная сила (10.1)
E = k[c2С×(С×s) - f] (10.1)
. Последняя связана с моментами hik турбулентных пульсаций по формуле:

V[c2С×(С×s) - f]i = khik (12.1)

Литература

[1] В.П.Дмитриев, Упругая модель физического вакуума,
      МТТ, 1992, т. 26, No 6, стр. 66-77.
[2] Д.Бленд, Нелинейная динамическая теория упругости,
      "Мир", Москва, 1972.
[3] O.V.Troshkin, On wave properties of an incompressible turbulent fluid,
      Physica A, 1990, v. 168, No 2, pp. 881-899.
      О.В.Трошкин, Волны возмущений турбулентных сред,
      ЖВМ МФ, 1993, т. 33, No 12, стр. 1844-1863.
[4] V.P.Dmitriyev, Towards an exact mechanical analogy of particles and fields,
      Nuovo Cimento, 1998, v. 111A, No 5, pp. 501-511;
       http://xxx.arXiv.org/abs/physics/9904029
      В.П.Дмитриев, Механический эквивалент электромагнитных полей и частиц,
      ЖВМ МФ., 1999, т. 39, No 7, стр. 1188-1196.
[5] V.P.Dmitriyev, Mechanical analogies for the Lorentz gauge, particles and antiparticles,
      Apeiron, 2000, v. 7, No 3/4, pp. 173-183;
      http://xxx.arXiv.org/abs/physics/9904049
[6] V.P.Dmitriyev, Can we derive the Lorentz force from Maxwell's equations?
      http://xxx.arXiv.org/abs/physics/0206022

Август 2002

Вывод уравнений Максвелла из идеальной турбулентной жидкости
aether.narod.ru/turb_ru.htm

copyright@VPDmitriyev