| English | aether.narod.ru |
Вывод уравнений Максвелла из идеальной турбулентности
Малые возмущения однородной изотропной турбулентности в идеальной жидкости ведут себя в точности как электромагнитное поле. Усредненная скорость потока жидкости отвечает магнитному вектор-потенциалу, усредненное давление _ электростатическому потенциалу, вызванная турбулентными напряжениями объемная сила соответствует напряженности электрического поля. |
1. Введение
Мы отыскиваем механическую среду, способную вопроизвести, или имитировать, электромагнитное поле и электрически заряженные частицы. Рассмотрена усредненная турбулентность в невязкой несжимаемой жидкости. Следуя методу Рейнольдса, составлена цепочка нелинейных уравнений для возрастающего числа последовательных моментов турбулентных пульсаций. Мы обрезаем цепочку, считая, что остаточный член во втором звене равен нулю. Полученные выражения линеаризуем. Как было показано в [1], построенная таким образом система линейных уравнений изоморфна полевой части системы электромагнитных уравнений Максвелла.
2. Осредненная турбулентность
Динамика жидкости описывается в терминах скорости потока u(x, t) и давления p(x, t). Следуя хорошо известному в гидродинамике методу Рейнольдса, осредним параметры среды на малом отрезке времени. Полученные таким образом средние величины <u> и <p> также являются функциями пространственной x и временной t координат. Исходя из этих соображений, можно определить турбулентные пульсации u' и p':
|
u = <u> + u' p = <p> + p' |
(2.1) |
Будем считать, что среда несжимаема т.е. плотность жидкости V = const. Отсюда
| ∂iui = 0 | (2.2) |
Подставляя (2.1) в уравнение Эйлера
| V∂tui + Vuk∂kui + ∂ip = 0 | (2.3) |
усредняя и учитывая, что <u'> = 0, <p'> = 0, найдем для средних по турбулентности:
| V∂t<ui> + V<uk>∂k<ui> + V∂k<u'iu'k> + ∂i<p> = 0 | (2.4) |
Здесь и далее приняты обозначения ∂t = ∂/∂t, ∂k = ∂/∂xk, i, k = 1, 2, 3 и повсюду подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу. Из (2.4) видно, что турбулентность создает в жидкости напряжения _ V<u'iu'k>.
Уравнение (2.4) представляет первое звено в цепочке динамических уравнений для последовательных моментов турбулентных пульсаций. Следующее уравнение получим, домножая (2.3) на u'j, симметризуя, подставляя в него (2.1) и усредняя:
| <u'k[∂t(<ui> + u'i) + (<uj> + u'j)∂j(<ui> + u'i) + ∂i(<p> + p')/V] + u'i[∂t(<uk> + u'k) + (<uj> + u'j)∂j(<uk> + u'k) + ∂k(<p> + p')/V]> = 0 |
(2.5) |
где для удобства мы разделили уравнение на V.
3. Возмущение турбулентности
Предполагаем, что в основном состоянии турбулентность однородна и изотропна:
| <u>0 = 0 |
| <p>0 = const | (3.1) |
| <u'iu'k>0 = c2δik |
Рассмотрим малые отклонения от (3.1):
| δ<u> =<u> _ <u>0 |
| δ<p> = <p> − <p>0 | (3.2) |
| δ<u'iu'k> = <u'iu'k> − <u'iu'k>0 |
Согласно (2.2), в несжимаемой среде
| Ñ·δ<u> = 0 | (3.3) |
Подставляя малые возмущения (3.2) в (2.4) и (2.5) и пренебрегая квадратичными членами, придем [1] к линеаризованным уравнениям Рейнольдса, соответственно:
| ∂tδ<ui> + ∂kδ<u'iu'k> + ∂iδ<p>/V = 0 | (3.4) |
| ∂tδ<u'iu'k> + c2(∂iδ<uk> + ∂kδ<ui>) + hik = 0 | (3.5) |
где
| hik = <u'i∂kp'>/V + <u'k∂ip'>/V + ∂j<u'iu'ju'k> |
и для удобства первое уравнение было разделено на V. Здесь c приобретает смысл скорости волны возмущения турбулентности, распространяющейся в среде.
4. Уравнения Максвелла
Дифференцируя (3.5) по xk, получаем векторное уравнение
| ∂t∂kδ<u'u'k> − c2Ñ×Ñ×δ<u> + g = 0 | (4.1) |
где
| gi = ∂khik + 2c2∂iÑ·δ<u> = 0 |
и было использовано тождество Ñ(Ñ·) = Ñ×Ñ× + Ñ2.
Далее, следуя [1], определим векторные A, E, j и скалярное φ поля:
| Ai = κcd<ui> = κc<ui> | (4.2) |
| Ei = κ∂kδ<u'iu'k> | (4.3) |
| φ = κd<p>/V | (4.4) |
| 4πji = κgi = κ∂khik | (4.5) |
где κ _ произвольная константа. Подставляя (4.2)-(4.5) в (3.4) и (4.1), получим два уравнения Максвелла, соответственно,
| ∂tA/c + E + Ñφ = 0 |
| ∂tE − cÑ×(Ñ×A) + 4πj = 0 |
Используя определение (4.2) в (3.3), получим кулоновскую калибровку
| Ñ·A = 0 |
В построенной таким образом теории не хватает электрического заряда. Как было показано в упругой модели, электрический заряд соответствует центру возмущения, образованному на разрыве сплошности среды. Следовательно, согласно (4.5), для непрерывной среды должно быть hik = 0, что замыкает систему уравнений (3.3), (3.4) и (3.5). В любом варианте оказывается, что электродинамика может быть отображена на минимальное замыкание линейной турбулентности Рейнольдса.
5. Энергия вакуума и электромагнитная энергия
Следует различать два вида энергии: энергию турбулентности и упругую энергию турбулентной среды. Плотность энергии возмущения турбулентности равна
| ½Vd<u'iu'i> | (5.1) |
Величина (5.1) может быть интепретирована как плотность энергии возмущения ваккуума. Используя определения (4.3) и (4.2) в хорошо известном выражении для энергии электромагнитного поля, находим, что плотность электромагнитной энергии соответствует сумме квазиупругих членов:
| ½[(∂k<u'u'k>)2 + (cÑ×δ<u>)2]k2/(4p) | (5.2) |
Фактически эти два вида энергии напрямую не перемешиваются друг с другом. Например, имеем для плоской волны в непрерывной среде:
| hik = 0, δ<p> = 0 |
| δ<u> = lF(ωt − k·x), k·l = 0 |
| ωδ<u'iu'j> = c2(likj + ljki)F(ωt − k·x) |
Здесь плотность энрегии возмущения турбулентности (5.1) равна нулю, поскольку
| ωδ<u'iu'i> = 2c2kiliF = 0 |
В то время как члены (5.2) упругой энергии отличны от нуля.
6. Выводы
Суммируя, можно заключить, что усредненная идеальная турбулентность предоставляет подходящий теоретический framework для моделирования классической электродинамики. Имеет место следующее соответствие между терминами электромагнетизма и их механическими аналогами.
| Понятие электромагнетизма | Свойство турбулентной жидкости |
| электромагнитная волна | волна возмущения турбулентности |
| магнитный вектор-потенциал | усредненная скорость потока жидкости |
| скалярный потенциал | усредненное давление жидкости |
| напряженность электрического поля | объемная сила, созданная турбулентными напряжениями |
ЛИТЕРАТУРА
[1] О.В.Трошкин, Волны возмущений турбулентных сред,Сентябрь 2002
Частицы и электрический заряд в турбулентном эфире
aether.narod.ru/particles_ru.htm
©В.П.Дмитриев